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二〇一四年睦月廿三日木曜日

■ 自然数の濃度が -1 であり総和が 1/3 であることの「証明」 [/links]

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先日の記事で、自然数の総和が -1/12 であることの直感的な「証明」を紹介した。これは実際には証明になっていない。収束しない無限級数を収束するかのように扱っているからだ。そのトリックを使ってよければ、いろいろな偽証明ができるだろう。私は以下の「証明」を思いついた。

自然数の濃度（個数）は 1 + 1 + 1 + ... で求められる。これを C とする。また、自然数の総和 1 + 2 + 3 + ... を S とする。

C と S を足すと、C + S = 2 + 3 + 4 + ... である。それを S から引くと、S - (C + S) = 1 + 2 - 2 + 3 - 3 + ... となる。左辺では S と -S が打ち消しあい、右辺では 2 以降のすべての項が消える。したがって、-C = 1 すなわち C = -1 が得られる。つまり、自然数の濃度は -1 である。

次に、S を変形して、S = (1 + 0) + 2 + (1 + 2) + 4 + (1 + 4) + ... とする。つまり、n が奇数なら 1 と n - 1 に分け、n が偶数ならそのままにする。ここで S - C を計算すると、S に含まれる 1 が全部消えるので、S - C = 0 + 2 + 2 + 4 + 4 + ... = 4 + 8 + 12 + ... = 4S となる。C = -1 であったから、S + 1 = 4S すなわち S = 1/3 となる。つまり、自然数の総和は 1/3 である。

Σ記号を使って書いたらもっともらしくなるかと思ったが、逆にうさんくささが増しそうだ。

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羽鳥公士郎

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