二〇一〇年 弥生 七日 日曜日
■ 折り紙の作図再考・その６ [/origami]
その４の改訂版
球面上では、点と直線とのあいだに双対関係を定めることができる。すると、A ∈ l ⇔ L ∈ a、l ⊥ m ⇔ L ∈ m、xl = m ⇔ Xl = m などの関係が成り立ち、球面上の折り紙作図の公理は４つにまとめることができる。
平面に無限遠点を足すと、球面を射影することができ、これらの関係はそのまま成り立つ。
無限遠点のない、通常のユークリッド平面でも、A ∈ l ⇔ L ∈ a という関係が成り立つように、点と直線との双対関係を定めることができる。しかし、この場合は、l ⊥ m ⇔ L ∈ m、xl = m ⇔ Xl = m などの関係は成り立たない。
したがって、平面上の折り紙作図の公理を８つよりも少なくまとめようと思えば、球面上で成り立つ双対関係を使うことはできない。
私は、平面上の折り紙作図公理は２つにまとめられると考えている。あらためて、８つの公理を書き出してみよう。
0. X ∈ l, X ∈ m
1. xl = m
2. xA = B
3. A ∈ x, B ∈ x
4. A ∈ x, l ⊥ x
5. xA ∈ l, B ∈ x
6. xA ∈ l, m ⊥ x
7. xA ∈ l, xB ∈ m
ここで、7 の折り方の特殊な場合として、A ∈ m, B ∈ l が成り立っているとすると、xl = m ∪ xA = B が言える（証明）。したがって、1 と 2 の折り方は 7 の折り方の特殊な場合になっている。
さて、やはり 7 の折り方の特殊な場合として、B ∈ m が成り立っている場合を考えてみる。平面上で、m と x との交点から B までの距離を r として、m と x のなす角をθとすると、xB と m との距離は r sin2θと表せる。xB ∈ m ということは、r sin2θ = 0 ということだから、r = 0 ∪ sin2θ = 0 であるが、x ≠ m とすると、0 < θ < π としてよいので、r = 0 ∪ θ = π/2 すなわち B ∈ x ∪ m ⊥ x ということになる。これを xA ∈ l と組み合わせれば、5 と 6 が 7 の特殊な場合であることが分かる。同様にして、3 と 4 も 7 の特殊な場合であることが分かる。
そうしてみると、平面上の折り紙作図公理は次の２つとなる。
I. X ∈ l, X ∈ m
II. xA ∈ l, xB ∈ m
さて、球面ではどうなるだろうか。実際のところ、球面上の折り紙による作図で用いることのできる折り方には、平面の７つに加えて、「２本の直線があるとき、両方の直線に垂直な直線を折る」というのがあるので、公理は９つとなる。
いずれにせよ、双対を使えば、公理はその１で述べたように４つとなる。しかし、せっかく双対の概念を使うのだから、点のみの記述、または直線のみの記述にするべきだろう。
I. XA = B
II. A ⊥ X, B ⊥ X
III. XA ⊥ B, C ⊥ X
IV. XA ⊥ B, XC ⊥ D
または
I. xa = b
II. a ⊥ x, b ⊥ x
III. xa ⊥ b, c ⊥ x
IV. xa ⊥ b, xc ⊥ d
私の予想では、球面でも平面と同じように考えて、これらの公理を XA ⊥ B, XC ⊥ D または xa ⊥ b, xc ⊥ d の１つだけにまとめることができるだろう。
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二〇一〇年 如月 十三日 土曜日
■ 折り紙の作図再考・その５ [/origami]
だいぶ前のことだが、その４で、「7 の折り方（xA ∈ l, xB ∈ m）の特殊な場合として、A ∈ m, B ∈ l が成り立っているとすると、xl = m ∪ xA = B が言える」と書いた。そのときは、「証明しなければならない気がしてくる」と書いたくせに、証明しなかった。実際にやってみたところ、初等幾何だけで証明できたので、概略を記しておく。
xA ∈ l, xB ∈ m, A ∈ m, B ∈ l の４つの条件が成り立っていると仮定したとき、xl = m ∪ xA = B であることを証明する。
m と l の交点を O とする。A ∈ l や B ∈ m が成り立つ場合はその４ですでに考慮したので、そのような場合を除外すると、A ≠ O, B ≠ O がいえる。
さて、x は、O を通るか通らないかのどちらかだ。x が O を通らない場合、xm ≠ l であり、xl ≠ m である。仮定より、xA ∈ l であり、xA ∈ xm であるから、xA は l と xm の交点である。同様に、xB は m と xl の交点である。m と x との交点を P とし、l と x との交点を Q とすると、x に対する対称性から、三角形 xAPQ と xBPQ が合同であることが証明でき、xxA = xB が証明できる。これはすなわち、xA = B だ。
一方、x が O を通る場合、x は線分 AxA の垂直二等分線であるから、x が角 xAOA の二等分線であることが証明できる。これはすなわち、xl = m だ。以上、証明終わり。
さて、この証明はユークリッド幾何を前提としているので、これが球面でも成り立つかどうかは自明ではない。球面では別に考える必要がありそうだ。
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二〇〇九年 師走 廿一日 月曜日
■ なぜ動物なのか・再考 [/origami]
現在知られている最古の具象的な彫刻は、およそ36000年前の女性像だそうだが、それよりやや新しいものとして、ライオン人間、馬の頭部、水鳥の彫刻が見つかっている。
そういえば、今から30000年以上前に描かれたと言われるショーベ洞窟壁画を始め、ラスコーやアルタミラの洞窟壁画も、ほとんどが動物をかたどっている。
以前、折り紙作品にはなぜ動物が多いのかという記事を書いたことがあるが、折り紙に限らず、人間がある程度自由に使える造形手段を手に入れたとき、真っ先に形作ろうとするものが動物なのかもしれないと、ふと思った。
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二〇〇九年 師走 十二日 土曜日
■ イタリアコンベンション・フォトレポート [/origami]
先週イタリアで開かれた CDO コンベンションのフォトレポートが、Origami Austria のウェブサイトにアップされている。神谷さんの教室の風景などを見ることができる。
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二〇〇九年 霜月 廿八日 土曜日
■ 名古屋コンベンションのティラノサウルス [/origami]
先週開かれた折紙探偵団名古屋コンベンションで、中村和也さん制作の巨大ティラノサウルス骨格の組み立てパフォーマンスがあった。組み立ての様子をスライドショーにしてみた。
Building an Almost-Life-size Skeleton of Origami Tyrannosaurus
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