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二〇一一年師走十二日月曜日

■ 「折り紙公理」の形式化・その６ [/origami]

その５から続く。

そこで、ユークリッドのほかの公理も、折り紙述語 F(x, y, z) を使って書き換えてみたい。

第１公理は、２点があるときに両方の点を通る直線が存在するということだから、

∀a∀b(∃l(F(l, a, a)∧F(l, b, b)))

と書ける。

第２公理は、

∀l∀m∀n(∃a∃b∃c∃d(¬(a = b)∧F(l, a, a)∧F(l, b, b)∧F(m, c, c)∧F(m, d, d)∧F(n, a, c)∧F(n, b, d))→∀e∃f((F(l, e, e))→((F(m, f, f)∧F(n, e, f))))

の公理と雰囲気が似ている。というのも、この公理は、直線上の２点を合わせれば直線全体が合うと述べているので、線分の両端を決めれば、その線分を延長できると解釈できないこともない。

第３公理については、そもそも円とは中心から等しい距離にある点の集合だから、点 a と点 b が与えられたとき、a を中心として b を通る円を描くということは、a と b とのあいだの距離だけ a から離れた点 c を作図するということに等しい。このとき、a を通る折り目で折れば b と c が重なるわけだから、次の公理が第３公理に相当すると考えることができる。

∀a∀b(∃c∃l(F(l, a, a)∧F(l, b, c)))

第４公理に相当する公理は、P(l, m)→P(m, l) だとするのがよさそうだ。省略せずに書けば、

∀l∀m(∃a∃b(¬(a = b)∧F(l, a, b)∧F(m, a, a)∧F(m, b, b))→(∃c∃d(¬(c = d)∧F(l, c, c)∧F(l, d, d)∧F(m, c, d)))

となる。

第２公理から第４公理はかなりあやしいが、実際のところユーリッドの公理系自体が現代の数学から見れば不完全なので、これ以上厳密な議論をしてもあまり意味がない。この程度で議論を切り上げて、とりあえず現段階での公理系を書けば、次のようになる。

・∀a∀b∀l(F(l, a, b)→F(l, b, a))

・∀l∀m(P(l, m)→P(m, l))

・∀a∀b(∃l(F(l, a, a)∧F(l, b, b)))

・∀a∀b(∃c∃l(F(l, a, a)∧F(l, b, c)))

・∀a∀b(∃c∃l(F(l, a, c)∧F(l, b, c))→(a = b))

・∀a∀b(∃c∃d∃l(¬(c = d)∧F(l, a, c)∧F(l, b, d))→¬(a = b))

・∀l∀m∀n(∃a∃b∃c∃d(¬(a = b)∧F(l, a, a)∧F(l, b, b)∧F(m, c, c)∧F(m, d, d)∧F(n, a, c)∧F(n, b, d))→∀e∃f((F(l, e, e))→((F(m, f, f)∧F(n, e, f))))

・∀l∀m(∃n(P(l, n)∧P(m, n))∨∃a(F(l, a, a)∧F(m, a, a)∧∀b((F(l, b, b)∧F(m, b, b))→(a = b))))

・∀a∀b∀l∀m(∃n(P(l, n)∧P(m, n))∨∃c∃d∃n(F(n, a, c)∧F(l, c, c)∧F(n, b, d)∧F(m, d, d)))

この公理系は、ユークリッドの５つの公理に相当する公理を含んでいるのだから、ユークリッドの公理系で証明できる定理をすべて証明できることが期待される。もしもそうであれば、この公理系でユークリッド幾何学を再現できることになる。さらに、余分な公理もあるので、折り紙の公理系がユークリッド幾何学を越える可能性もある。しかし、すでに述べたように、ユークリッドの公理系自体が不完全なので、話はそう簡単には進まない。

その７に続く。

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