二〇一〇年 弥生 七日 日曜日■ 折り紙の作図再考・その６ [/origami]その４の改訂版 球面上では、点と直線とのあいだに双対関係を定めることができる。すると、A ∈ l ⇔ L ∈ a、l ⊥ m ⇔ L ∈ m、xl = m ⇔ Xl = m などの関係が成り立ち、球面上の折り紙作図の公理は４つにまとめることができる。 平面に無限遠点を足すと、球面を射影することができ、これらの関係はそのまま成り立つ。 無限遠点のない、通常のユークリッド平面でも、A ∈ l ⇔ L ∈ a という関係が成り立つように、点と直線との双対関係を定めることができる。しかし、この場合は、l ⊥ m ⇔ L ∈ m、xl = m ⇔ Xl = m などの関係は成り立たない。 したがって、平面上の折り紙作図の公理を８つよりも少なくまとめようと思えば、球面上で成り立つ双対関係を使うことはできない。 私は、平面上の折り紙作図公理は２つにまとめられると考えている。あらためて、８つの公理を書き出してみよう。 0. X ∈ l, X ∈ m 1. xl = m 2. xA = B 3. A ∈ x, B ∈ x 4. A ∈ x, l ⊥ x 5. xA ∈ l, B ∈ x 6. xA ∈ l, m ⊥ x 7. xA ∈ l, xB ∈ m ここで、7 の折り方の特殊な場合として、A ∈ m, B ∈ l が成り立っているとすると、xl = m ∪ xA = B が言える（証明）。したがって、1 と 2 の折り方は 7 の折り方の特殊な場合になっている。 さて、やはり 7 の折り方の特殊な場合として、B ∈ m が成り立っている場合を考えてみる。平面上で、m と x との交点から B までの距離を r として、m と x のなす角をθとすると、xB と m との距離は r sin2θと表せる。xB ∈ m ということは、r sin2θ = 0 ということだから、r = 0 ∪ sin2θ = 0 であるが、x ≠ m とすると、0 < θ < π としてよいので、r = 0 ∪ θ = π/2 すなわち B ∈ x ∪ m ⊥ x ということになる。これを xA ∈ l と組み合わせれば、5 と 6 が 7 の特殊な場合であることが分かる。同様にして、3 と 4 も 7 の特殊な場合であることが分かる。 そうしてみると、平面上の折り紙作図公理は次の２つとなる。 I. X ∈ l, X ∈ m II. xA ∈ l, xB ∈ m さて、球面ではどうなるだろうか。実際のところ、球面上の折り紙による作図で用いることのできる折り方には、平面の７つに加えて、「２本の直線があるとき、両方の直線に垂直な直線を折る」というのがあるので、公理は９つとなる。 いずれにせよ、双対を使えば、公理はその１で述べたように４つとなる。しかし、せっかく双対の概念を使うのだから、点のみの記述、または直線のみの記述にするべきだろう。 I. XA = B II. A ⊥ X, B ⊥ X III. XA ⊥ B, C ⊥ X IV. XA ⊥ B, XC ⊥ D または I. xa = b II. a ⊥ x, b ⊥ x III. xa ⊥ b, c ⊥ x IV. xa ⊥ b, xc ⊥ d 私の予想では、球面でも平面と同じように考えて、これらの公理を XA ⊥ B, XC ⊥ D または xa ⊥ b, xc ⊥ d の１つだけにまとめることができるだろう。 |