blog.鶯梭庵

二〇一〇年如月十三日土曜日

■ 折り紙の作図再考・その５ [/origami]

xA ∈ l, xB ∈ m, A ∈ m, B ∈ l ならば xl = m ∪ xA = B であることの証明

だいぶ前のことだが、その４で、「7 の折り方（xA ∈ l, xB ∈ m）の特殊な場合として、A ∈ m, B ∈ l が成り立っているとすると、xl = m ∪ xA = B が言える」と書いた。そのときは、「証明しなければならない気がしてくる」と書いたくせに、証明しなかった。実際にやってみたところ、初等幾何だけで証明できたので、概略を記しておく。

xA ∈ l, xB ∈ m, A ∈ m, B ∈ l の４つの条件が成り立っていると仮定したとき、xl = m ∪ xA = B であることを証明する。

m と l の交点を O とする。A ∈ l や B ∈ m が成り立つ場合はその４ですでに考慮したので、そのような場合を除外すると、A ≠ O, B ≠ O がいえる。

さて、x は、O を通るか通らないかのどちらかだ。x が O を通らない場合、xm ≠ l であり、xl ≠ m である。仮定より、xA ∈ l であり、xA ∈ xm であるから、xA は l と xm の交点である。同様に、xB は m と xl の交点である。m と x との交点を P とし、l と x との交点を Q とすると、x に対する対称性から、三角形 xAPQ と xBPQ が合同であることが証明でき、xxA = xB が証明できる。これはすなわち、xA = B だ。

一方、x が O を通る場合、x は線分 AxA の垂直二等分線であるから、x が角 xAOA の二等分線であることが証明できる。これはすなわち、xl = m だ。以上、証明終わり。

さて、この証明はユークリッド幾何を前提としているので、これが球面でも成り立つかどうかは自明ではない。球面では別に考える必要がありそうだ。

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