二〇一一年 師走 廿四日 土曜日
■ 算数における掛け算について [/links]
「5人が鉛筆を3本ずつ持っています。鉛筆は全部で何本ありますか。」という問題に対して、5×3＝15 は不正解で 3×5＝15 が正解とされる場合がある。これに対して批判する意見も擁護する意見もあるが、私が目にしたかぎりでは、いずれの立場からの意見も考察が不十分であるように思う。
まず、多くの批判派は「こんなこと自分が小学生ときは習わなかった」と言うが、それはおそらく事実として違う。昔から、小学校の算数には「掛ける数」と「掛けられる数」の区別がある。そして、掛け算は「掛けられる数×掛ける数＝答え」と書くことになっている。私もそう習った記憶がある。
そう言うと、批判派は「a×b＝b×a」という数学の法則を持ち出すだろう。掛け算では順番は関係ないではないか、というわけだ。それに対する擁護派の反論は、答えの数が同じでも、答えの単位が異なるということだ。擁護派は言う。答えの単位は掛けられる数の単位に一致する。「5人×3本＝15人」であり、「3本×5人＝15本」である。したがって、前者の式で「15本」と答えるのは不正解だ。
しかし、この説明は間違っている。「人」と「本」を掛けたら、答えの単位は「人本」になるはずだ。例えば、「時速4kmの速さで2時間歩きました。何km歩きましたか。」という問題なら、4km/時×2時＝8kmとなるが、ここで単位だけに注目すると、km/時×時＝kmとなって、つじつまが合う。あるいは、「縦の長さが4cm、横の長さが2cmの長方形の面積は何平方cm2ですか。」という問題でも、単位を見るとcm×cm＝cm2となっている。
この場合、掛け算の順序をひっくり返せることに注意してほしい。つまり、4km/時×2時＝2時×4km/時＝8kmであり、4cm×2cm＝2cm×4cm＝8cm2である。したがって、4×2＝8 が正解で 2×4＝8 が不正解という理屈は成り立たない。こういう場合は、「掛ける数」と「掛けられる数」の区別は意味を持たないし、掛け算の順序に関係なく正解としなければおかしい。
では、鉛筆の問題では、単位はどうなっているだろうか。ここで２つの考え方が可能だ。１つは、5人が1人あたり3本の鉛筆を持っているという考え方で、「3本/人×5人＝15本」となる。もう１つは、3本を1まとめにして、それが5つあるという考えで、「3本×5＝15本」となる。
前者の考えでは、速さや面積と同じように、掛け算の順序をひっくり返すことができる。つまり、「5人×3本/人＝15本」としてよい。この場合は、「掛ける数」と「掛けられる数」の区別は意味を持たない。高校以上の数学になじんでいる人は、たいていこちらの考え方をする。批判派が、順番が逆になると不正解というのはおかしいと感じるのは、多くの場合このためだろう。
一方、小学校の低学年で教えられるのは後者の考えだ。ここで、掛ける数が無単位になっていることに注意してほしい。答えの単位が掛けられる数の単位と一致する以上、掛ける数は無単位でなければならない。つまり、この掛け算は、本数と人数を掛けているのではない。掛けられる数は本数であるが、掛ける数は人数ではない。「3本×5人＝15本」は誤りなのだ。
では、掛ける数とは何か。「3本×5＝15本」というのは、実は「3本＋3本＋3本＋3本＋3本＝15本」の省略形なのである。掛ける数とは、同じ数をいくつも足し算するときの、足される数の個数なのだ。だから、掛けられる数には単位があるが、掛ける数には単位がない。このように、掛ける数と掛けられる数は性格が大きく違う。
そこで擁護派はこう言うだろう。「3×5＝15」は「3本＋3本＋3本＋3本＋3本＝15本」の省略形であるのに対し、「5×3＝15」は「5人＋5人＋5人＝15人」の省略形だ。したがって、前者が正解であるのに対し、後者は不正解である。
しかしそれは、「掛け算は『掛けられる数×掛ける数＝答え』と書く」という規則を前提としている。「5×3＝15」を「掛ける数×掛けられる数＝答え」と見れば、「5×3本＝15本」であり、何の問題もない。言い換えれば、「5×3＝15」を「5人＋5人＋5人＝15人」ではなく「3本＋3本＋3本＋3本＋3本＝15本」と解釈して悪い理由は何もない。
結局のところ、掛け算の順番を問題にする教師は、掛ける数と掛けられる数の区別が理解できているかどうかをテストで見るために、「掛け算は『掛けられる数×掛ける数＝答え』と書く」という規則を導入して、その通りに書いてあれば理解していると判断し、逆になっていれば理解していないと判断していることになる。これはもちろん、評価方法として適切ではない。掛ける数と掛けられる数の概念を理解していることと、掛ける数と掛けられる数のどちらを先に書くかということは、本来は関係がない。
私が思うに、掛ける数と掛けられる数の違いを小学生に教えることそのものに無理がある。もちろん教えてもよいのだが、それならば「3本×5人＝15本」などという間違った説明をしてはいけない。しかし、掛けられる数には単位があるが掛ける数は無単位だ、などということを理解できる小学生がどれだけいるだろうか。それが無理なので、「掛け算では、最初の数を『掛けられる数』といい、後の数を『掛ける数』という」というような教え方しかできない。だから、順番を逆にすると不正解にする。そんな教え方は無意味だ。
2011年12月26日追記
仮に「掛け算は『掛けられる数×掛ける数＝答え』と書く」という規則を受け入れたとしよう。その場合でも、「5人の人に鉛筆を3本ずつ配ります。鉛筆は全部で何本いりますか。」という問題なら、どちらの順序でも正解となる。最初の人に3本配り、次の人に3本配り、というように配れば、3本ずつの組を5つ作ることになるから、答えは「3本×5＝15本」となるが、5人の人に鉛筆を1本ずつ配り、それを3回繰り返すという配り方なら、5本ずつの組を3つ作るのだから、答えは「5本×3＝15本」となる。なるほど、このような配り方は不自然かもしれないが、トランプならごく自然な配り方だし、不自然であることは不正解の理由にはならない。
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二〇一一年 師走 十二日 月曜日
■ 「折り紙公理」の形式化・その６ [/origami]
その５から続く。
そこで、ユークリッドのほかの公理も、折り紙述語 F(x, y, z) を使って書き換えてみたい。
第１公理は、２点があるときに両方の点を通る直線が存在するということだから、
∀a∀b(∃l(F(l, a, a)∧F(l, b, b)))
と書ける。
第２公理は、
∀l∀m∀n(∃a∃b∃c∃d(¬(a = b)∧F(l, a, a)∧F(l, b, b)∧F(m, c, c)∧F(m, d, d)∧F(n, a, c)∧F(n, b, d))→∀e∃f((F(l, e, e))→((F(m, f, f)∧F(n, e, f))))
の公理と雰囲気が似ている。というのも、この公理は、直線上の２点を合わせれば直線全体が合うと述べているので、線分の両端を決めれば、その線分を延長できると解釈できないこともない。
第３公理については、そもそも円とは中心から等しい距離にある点の集合だから、点 a と点 b が与えられたとき、a を中心として b を通る円を描くということは、a と b とのあいだの距離だけ a から離れた点 c を作図するということに等しい。このとき、a を通る折り目で折れば b と c が重なるわけだから、次の公理が第３公理に相当すると考えることができる。
∀a∀b(∃c∃l(F(l, a, a)∧F(l, b, c)))
第４公理に相当する公理は、P(l, m)→P(m, l) だとするのがよさそうだ。省略せずに書けば、
∀l∀m(∃a∃b(¬(a = b)∧F(l, a, b)∧F(m, a, a)∧F(m, b, b))→(∃c∃d(¬(c = d)∧F(l, c, c)∧F(l, d, d)∧F(m, c, d)))
となる。
第２公理から第４公理はかなりあやしいが、実際のところユーリッドの公理系自体が現代の数学から見れば不完全なので、これ以上厳密な議論をしてもあまり意味がない。この程度で議論を切り上げて、とりあえず現段階での公理系を書けば、次のようになる。
・∀a∀b∀l(F(l, a, b)→F(l, b, a))
・∀l∀m(P(l, m)→P(m, l))
・∀a∀b(∃l(F(l, a, a)∧F(l, b, b)))
・∀a∀b(∃c∃l(F(l, a, a)∧F(l, b, c)))
・∀a∀b(∃c∃l(F(l, a, c)∧F(l, b, c))→(a = b))
・∀a∀b(∃c∃d∃l(¬(c = d)∧F(l, a, c)∧F(l, b, d))→¬(a = b))
・∀l∀m∀n(∃a∃b∃c∃d(¬(a = b)∧F(l, a, a)∧F(l, b, b)∧F(m, c, c)∧F(m, d, d)∧F(n, a, c)∧F(n, b, d))→∀e∃f((F(l, e, e))→((F(m, f, f)∧F(n, e, f))))
・∀l∀m(∃n(P(l, n)∧P(m, n))∨∃a(F(l, a, a)∧F(m, a, a)∧∀b((F(l, b, b)∧F(m, b, b))→(a = b))))
・∀a∀b∀l∀m(∃n(P(l, n)∧P(m, n))∨∃c∃d∃n(F(n, a, c)∧F(l, c, c)∧F(n, b, d)∧F(m, d, d)))
この公理系は、ユークリッドの５つの公理に相当する公理を含んでいるのだから、ユークリッドの公理系で証明できる定理をすべて証明できることが期待される。もしもそうであれば、この公理系でユークリッド幾何学を再現できることになる。さらに、余分な公理もあるので、折り紙の公理系がユークリッド幾何学を越える可能性もある。しかし、すでに述べたように、ユークリッドの公理系自体が不完全なので、話はそう簡単には進まない。
その７に続く。
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二〇一一年 師走 十一日 日曜日
■ 折り紙ティーセット [/origami]
origami-l で Karen Reeds さんが紹介していた。
日本人デザイナー Yuya Ushida の作品。各パーツが一枚折り。
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二〇一一年 師走 十日 土曜日
■ 「折り紙公理」の形式化・その５ [/origami]
その４から続く。
ここまでのところ、次の公理からなる公理系を作ったことになる。
・∀a∀b∀l(F(l, a, b)→F(l, b, a))
・∀a∀b(∃c∃l(F(l, a, c)∧F(l, b, c))→(a = b))
・∀a∀b(∃c∃d∃l(¬(c = d)∧F(l, a, c)∧F(l, b, d))→¬(a = b))
・∀l∀m∀n(∃a∃b∃c∃d(¬(a = b)∧F(l, a, a)∧F(l, b, b)∧F(m, c, c)∧F(m, d, d)∧F(n, a, c)∧F(n, b, d))→∀e∃f((F(l, e, e))→((F(m, f, f)∧F(n, e, f))))
・∀l∀m(∃n(P(l, n)∧P(m, n))∨∃a(F(l, a, a)∧F(m, a, a)))
・∀a∀b∀l∀m(∃n(P(l, n)∧P(m, n))∨∃c∃d∃n(F(n, a, c)∧F(l, c, c)∧F(n, b, d)∧F(m, d, d)))
さて、公理系と言って多くの人が真っ先に思い浮かべるのは、ユークリッドの公理系だろう。ユークリッドは、『原論』で次の５つの公理を挙げた。
1. 任意の点から任意の点に、直線を引くことができる。
2. 与えられた有限の直線を、どちらの側にもいくらでも延長できる。
3. 任意の点を中心とする、任意の距離の円を描くことができる。
4. すべての直角は互いに等しい。
5. ある直線が他の２直線に交わり、その１つの側の内角の和が２直角より小さいとき、それらの２直線をその側に延長すると、いつかは交わる。
この中でもっとも有名な第５公理は、実質的には「２本の直線は、どちらももう１本の直線に垂直であるか、１点で交わるかのどちらかだ」ということを言っている。したがって、上に挙げた公理のうちの１つ
・∀l∀m(∃n(P(l, n)∧P(m, n))∨∃a(F(l, a, a)∧F(m, a, a)))
とよく似ている。この公理は「２本の直線は、どちらももう１本の直線に垂直であるか、交わるかのどちらかだ」と言っているので、「交わるときは交点は１つだけだ」ということをつけ加えてやれば、実質的に同じになる。実際に加えてみると、
・∀l∀m(∃n(P(l, n)∧P(m, n))∨∃a(F(l, a, a)∧F(m, a, a)∧∀b((F(l, b, b)∧F(m, b, b))→(a = b))))
となる。これで、ユークリッドの第５公理に相当する公理を、述語論理の記号と等号、そして折り紙述語 F(x, y, z) だけを使って書けたわけだ。
その６に続く。
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二〇一一年 師走 三日 土曜日
■ 「折り紙公理」の形式化・その４ [/origami]
その３から続く。
これで、７つの折り方のうち５つまでが出そろったことになる。残る２つは、公理と F(l, b, b)∧F(m, a, a) とから導きたいが、そのためには公理を追加する必要がある。以下の公理を追加しよう。
・∀a∀b∀l(F(l, a, b)→F(l, b, a))
・∀a∀b(∃c∃l(F(l, a, c)∧F(l, b, c))→(a = b))
・∀a∀b(∃c∃d∃l(¬(c = d)∧F(l, a, c)∧F(l, b, d))→¬(a = b))
・∀l∀m∀n(∃a∃b∃c∃d(¬(a = b)∧F(l, a, a)∧F(l, b, b)∧F(m, c, c)∧F(m, d, d)∧F(n, a, c)∧F(n, b, d))→∀e∃f((F(l, e, e))→((F(m, f, f)∧F(n, e, f))))
それぞれ、
・直線 l で折ったときに点 a と点 b が重なるならば、直線 l で折ったときに点 b と点 a が重なる（対称性）。
・直線 l で折ったときに、点 a と点 c が重なり、かつ点 b と点 c が重なるならば、点 a と点 b は等しい（１つの点が複数の点と重なることはない）。
・直線 l で折ったときに、点 a と点 c が重なり、点 b が点 c とは異なる点 d と重なるならば、点 a と点 b は異なる（複数の点が１つの点と重なることはない）。
・直線 n で折ったとき、直線 l 上の２点 a と b が直線 m 上の２点 c と d にそれぞれ重なるとき、直線 l 上の任意の点が直線 m 上のいずれかの点に重なる（直線上の２点を合わせて折れば、直線全体が合う）。
を意味する。
すると、
∀a∀b∀l∀m(∃n(P(l, n)∧P(m, n))∨∃c∃d∃n(F(n, a, c)∧F(l, c, c)∧F(n, b, d)∧F(m, d, d)))
から、a、b、l、m を所与とし、F(l, b, b)∧F(m, a, a) を仮定すると、
∃n(P(l, n)∧P(m, n)∧F(l, b, b)∧F(m, a, a))∨∃c∃d∃n(F(n, a, c)∧F(l, c, c)∧F(n, b, d)∧F(m, d, d)∧F(l, b, b)∧F(m, a, a))
が言え、(a = d)∨¬(a = d) であることから、
∃n(P(l, n)∧P(m, n))∨∃n(F(n, a, b))∨∃n∀e∃f((F(l, e, e))→((F(m, f, f)∧F(n, e, f))))
が言える（追加した公理によって (a = d)→(b = c) が成り立つことに注意）。これは結局、「２つの点 a、b と平行でない２本の直線 l、m があり、a が m の上にあり、b が l の上にあるとき、『a を l の上に乗せ、b を m の上に乗せるように折る』という折り方は、『２つの点を合わせるように折る』か『２本の直線を合わせるように折る』のいずれかである」ということだ。
その５に続く。
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